数论之素数,数论素数
这是一系列关于数论的介绍性文章，目的在于推广数学知识，拓展读者的数学思维。至于为什么用图文而不是视频？图文有三个优越性：一是图文数据量小，节省学习时间；二是有助于个人主动思考；三是文字里的关键字，可以方便读者查阅相关资料。
素数是数论的基本构件，这从算术基本定理可以得知，每个数由将素数乘在一起的唯一方式构成。构件的发现与描述在其学科领域具有深远影响。例如，每种化学制品是由一些基本元素构成的，门捷列夫(Mendeleev)将这些元素分类成性质周期性重现的元素族，这些发现使得化学领域发生了革命性变化。
下面我们将做类似的事情，将素数集合分成各种子集，例如分成模4余1的集合与模4余3的集合。
素数是基本构件的事实是研究其性质的充足理由，人们对素数研究得越多就越对素数感兴趣，而发现的关系式就越优美且令人惊讶。
以下是关于素数的一些定理，揭示素数的相关性质。
定理 (无穷多素数定理) 存在无穷多个素数。
欧几里得证明 假设已列出素数(有限)表。要说明如何找不在表中的新素数。因为可以将这个新素数加入到表中，再重复这个过程，就表明必有无穷多个素数。
假设由素数表开始，将它们乘起来再加1，给出数
。
如果A本身是素数，则证明已完成。因为A太大不在最初的表中，但是即使A不是素数，也肯定会被某个素数整除，因为每个数可表示成素数乘积。设q是某个整除A的素数，且设其为最小的那个。可得q不在最初的表中，所以它是所期望的新素数。
为什么q不在最初的表中呢？我们知道q整除A，所以q整除。
如果q等于中的一个，则它必整除1，而这是不可能的。这意味着q是新素数，可添加到表中，重复这个过程可创建素数表，它与我们所要的一样长，这表明必有无穷多个素数。
欧几里得的证明很巧妙也很漂亮。
定理 (模4余3的素数定理) 存在无穷多个模4余3的素数。
证明 假设已得到素数(有限)表，它们都是模4余3的，我们的目的是通过求新的模4余3的素数制作更长的表。重复这个过程就给出任何所要长度的素数表，由此证明存在无穷多个模4余3的素数。
假设模4余3的素数的初始表是考虑数
(注意乘积中不包括素数3)我们知道可将A分解成素数乘积，譬如说
我们断言素数中至少有一个必是模4余3。这是证明中的关键步骤，反证法，如果不成立，则都是模4余1，此时其乘积A模4余1。但是由定义知A显然模4余3，从而至少有一个必定模4余3，即
第二个断言是不在最初的表中。我们知道整除A，而由A的定义这是显然的，因为中没有一个整除A。因此不在我们最初的表中，将其加人到表中并重复此过程，照此方式可制作所要长度的素数表，这表明必有无穷多个模4余3的素数。
推广上述定理，有一个更广泛的定理存在。
定理(算术级数的素数狄利克雷定理) 设a与m是整数，gcd(a, m)=1。则存在无穷多个素数模m余a，即存在无穷多个素数p满足
总结，
上述定理的证明，使用了构造法。证明的过程，也是生成素数序列的过程。猜你喜欢
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