神奇的完全数内容

• 2023-10-27 15:58:31 • 0次

今天大小吴来和大家讨论一种神奇的数：完全数。1 亏数、盈数、完全数我们知道，一个数不管它是素数还是合数，它总有因数。我们记一个正整数的所有因数之和为，那么容易知道对于素数来说，必然有对于合数来说，必然有古希腊数学家将与进行比较，称满足的数为亏数；满足的数为盈数；满足的数为完全数。举几个简单的例子，对

今天大小吴来和大家讨论一种神奇的数：完全数。

1 亏数、盈数、完全数

我们知道，一个数不管它是素数还是合数，它总有因数。我们记一个正整数的所有因数之和为，那么容易知道对于素数来说，必然有

对于合数来说，必然有

古希腊数学家将与进行比较，称满足

的数为亏数；

满足

的数为盈数；

满足

的数为完全数。

举几个简单的例子，对于正整数4、12、6来说，有

则说明4是亏数、12是盈数、6是完全数。

易知，所有的素数必然是亏数。

我们可以对亏数、盈数、完全数这三种数总结如下：

一个正整数亏数盈数完全数真因数之和小于大于等于因数之和小于大于等于

可以将“亏”、“盈”理解为将真因数之和相对于自身作差而得到的“缺损”和“盈余”。而恰好既不“缺损”也不“盈余”，真因数之和等于自身的数即为“完全数”，又称“完美数”，“完备数”。

2 有多少完全数？

完全数是非常稀少的，最小的完全数是6，接下来是28，因为

两位数中的完全数有且只有28，而在三位数中仅有496是完全数，往后越来越稀少。数学家笛卡尔曾公开预言：“完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美的人亦非易事。”

3 偶数完全数

由于目前已知的完全数6、28、496都为偶数，我们现在就来研究一下是偶数的完全数，把偶数分解素因数，得到

令

则

这里假定偶数是完全数，则

另一方面，易证因数和函数是积性函数，因此

又因为

因此

即

因此

这样我们得到了的所有因数之和。

在这里，易知必然是的因数。进一步通过观察可知，等式右边有且只有两个的因数，且其中一个已经是它本身，因此只能是一个素数，且

也就是说，是一个能用的形式来表示的素数。那么一开始的偶数完全数可表示为：

其中满足为素数。

对此，我们可以加以验证：

4 完全数与梅森素数

如此一来，我们只需考虑什么时候是素数即可。我们用替换，研究形如的素数，这样的素数称为梅森素数，常见的梅森素数有：

我们发现：当为素数时，似乎也都是素数，这是因为如果不是素数，则必有

这里均是大于1的正整数，因此

即

因式分解得

因此必然也不是一个素数。

但是反之，当是素数时，却未必是一个素数，比如：

梅森素数非常难寻找。目前人类借助计算机，也仅发现51个梅森素数，最大的是，有24862048位。

因此，实际上，只要找到梅森素数就找到了相对应的完全数，例如：

这也就是为什么完全数那么稀少的原因。

参考文献[1]远山启.数学女王的邀请——初等数论入门[M].逸宁译.人民邮电出版社，2020.

神奇的完全数内容

猜你喜欢

相关推荐

最新文章

热文欣赏

大家都在问