初中开始，我们就会接触函数这个概念，大部分学生看到函数的命名和定义就陷入了无措。之所以会感到无措和不理解，一方面原因是因为我们生活中很少使用函数这个术语。其次，书本对函数的定义确实比较难理解。

我们看下函数在初中课本的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。看到这个定义对于初学者来说不太友好，这不能怪课本的编辑者。教学课本的内容是要讲究严谨和规范的，也导致好多同学没有真正理解函数和它的魅力所在，只知道函数的题就是代入，计算，再代入，再计算的过程。真正的函数不是空中楼阁的存在，它具有一种“一图胜万言”的简洁之美，也是人类智慧和经验得以展现的最佳形式之一。

著名数学家Jordan Ellenberg曾画出一个非常形象的图，对数学进行了分类：

图中对数学按横轴简单到复杂，纵轴浅显到深奥分成了四个区域。分别是：

1、复杂&深奥的：比如费马猜想、庞加莱猜想、黎曼假设等理论数学领域，它们脱离现实生活，是高智力者挑战人类未知领域的课题；

2、简单&深奥的：指、幂、对函数、时间函数、拉弗曲线、正态分布等等；因为简单且有内涵，所以和下面的第三类列入义务教育的数学课本中；

3、简单&浅显的：加减乘除、开方、开根、解方程、三角形、四边形等代数几何基础知识；

4、复杂&浅显的：比如微积分、定积分等，有难度但又比较实用，在大学课程会进行学习。

四个类型中，第二个类型的代表就是各种函数模型，它极度有用且非常直观。无论我们处于人生的哪个阶段，对函数模型了解起来毫不费力但受益无穷。所以有句话说：函数是数学带给世界最好的礼物之一。

其实函数就是研究两个变量之间关系的表达形式，它能通过简单的数学等式、表格或者直观易懂的图像呈现出变量之间的关系。生活中的诸多事例都可以用函数模型从宏观层面去描述，所以说函数模型这是一种简单、高效且高级的归纳和概括。如果能读懂事物发展背后的函数模型，对其发展有一个清晰的认知，那么我们将会处于一种当下不杂的高级状态中。通过未来的视角看当下的问题是一种高纬度的思考方式，有的人通过预测行业大趋势从而果断入手赚得盆满钵满，有的人陷入当下的低谷，一蹶不振黯然下了牌桌，他却不知道转机就在不远处等待。

今天会介绍几种对我们人生有帮助的函数模型，让我们在感叹函数简洁之美的同时，对自己的人生选择有更高层次的见解。

第一类：时间函数

时间函数是我们生活中非常有用的一类函数：它的横轴是时间，纵轴可以是收益、规模、价值、情绪、精力等等，随之时间的推进，纵轴所表示的事物也会呈现出现不同的发展趋势。而人又是很短视的，我们可能会沉溺和悲伤中不可自拔，也可能沉浸在喜悦中，看不到危机的觊觎。时间可以改变一切，美好的也罢、悲惨的也好，在漫长岁月中它们只是一瞬的存在。

下面介绍一个让我很受用的时间模型—— Hypecycle 高特纳曲线

高特纳曲线又称为新兴技术发展成熟度曲线，它基本吻合任何新兴技术发展过程中，随之时间变化人们的期望值的变化趋势。

在技术萌芽期，人们对未来的憧憬和对新事物的美好期待会让期望值不断攀升至高点；随着新兴技术陷入发展瓶颈，人们的预期将随之降低甚至绝望；经过一段时间的不断探索，新兴技术的发展趋于成熟和可运用之后，期待值逐渐上升直到一个合理的区间。这就是高特纳曲线的简单描述，回想我们了解到的蒸汽机、电器、电动汽车、3D打印甚至近期出现的元宇宙等等已经改变世界或者即将改变世界的发明到普及，都会经历这条曲线，当然也有很多发明和新兴技术停滞下来或者夭折在概念阶段。上图摘自高特纳咨询公司于2021年发布的新兴技术发展成熟度曲线预测和定位，如果图中有你感兴趣和熟知的领域可以对照看看处于发展的哪个阶段，就能更好预测未来可能经历的波动。

高特纳曲线的除了总结客观的历史规律之外，它的构成又恰恰符合人性曲线和物性曲线。

人性曲线

物性曲线——逻辑斯蒂增长

人性曲线是有严谨的生理学论证的，我们可以简单理解为横轴是时间，纵轴是喜悦程度或者悲伤程度。当我们遇到开心的事情或者失落的事情，图形就很符合我们情绪的变化。通常我们在处于情绪高位的时候，会陷入过度乐观悲观之中，而现实的发展会让情绪平复回到一个合理的区间，所以范仲淹提过：不以物喜，不以己悲。这是一种很高的处世智慧。

物性曲线中最典型的就是逻辑斯蒂增长。在不加干涉的前提下，事物的发展趋向指数增长，但又因为各种因素的限制，增长停滞，就会形成第二个图中红色曲线的形态。比如人口如果不加干涉就会以指数形式增长，但因为农作物的有限，水源的稀缺或者战争、灾难的意外出现，人口增长就如逻辑斯蒂增长曲线一般维持在一个合理的水平；再比如新冠病毒，国外疫情开始阶段没引起人们的关注，不加管控就会呈现指数爆炸的增长，但随之防疫措施的完善、疫苗的普及以及人体内病毒抗体水平的提升，病毒的增长也会停滞下来，最后的结果就是病毒与人类共存。

把以上两种曲线进行复合之后就得到了高特纳曲线，所以宏观层面去看待问题时，高特纳曲线是一个非常实用的存在。另外高特纳曲线也能对人所处阶段进行划分，如图。你处在哪个阶段呢?

第二类：拉弗曲线&倒U型曲线

拉弗曲线最初是经济学中描述税率变化对收税总额的影响，结果呈现倒U型。如图所示。生活中的倒U型曲线也是随处可见，所以这个曲线的也是使用频率比较高的。

图中可以看出，当政府税率为0或者1，税收就会变成0，这很好理解。只有当税率合适的时候，税收才会出现最高点。在某些因素的影响下，倒U曲线会出现左倾或者右倾的变化，但总体会呈现这个形状。它的应用非常广，比如横轴为吃馒头个数时，纵轴愉悦度；再比如学习时长和知识留存率；锻炼强度对肌肉形成的影响；全市学生考试成绩的分布曲线在我们生活中比比皆是。用中国古代先贤的话来总结就是：物极必反，否极泰来；中庸之道等等。

正态分布图

第三类：指数函数、对数函数、幂函数

这部分知识点上过高中的朋友都知道的，所以基础知识不讲了。以下函数讨论读取函数在a≥1且图像在第一象限内的情况分析。如图：

指数和对数函数

幂函数，分为凸型和凹型

通常涉及到指数函数，我们脑海里会浮现一个词，爆炸。没错，指数函数的初期变化缓慢，达到某个临界点时候再迅速增长，迸发出超乎想象的能量。比如典型的庞氏传销骗局：每个成员必须去发展两个下层，下层每人再发展两个下层。如果从一个人开始，经过五层也仅需要16个“下层”被骗者就能完成任务，看似也不多。但再继续下去，发展到第34层，就需要85亿个下层受骗者，比全球总人数还多。这还仅仅是第34层所需的下层人数，并没有求和1-33层总计的受骗者人数。细思极恐，意想不到。我们的大脑更多是理解线性和简单模型的增长，对指数增长是接受不了的，从而选择忽略。比如我们现在想想40人的班级是什么样的，我们是可以想象出来的。那如果让我们想想40万、400万、4000万的群体是什么样的，我们就无能为力了。

对数函数是指数函数的反函数，图像关于y=x对称，它的特点是前期增长迅速，后面会逐渐趋于平缓到达天花板。

幂函数的特点就是和指数以及对数函数类似，也是由一条前期变化微小，后期增长惊人的曲线以及一条前期增长迅速，后期平缓的曲线构成。

如果把两种幂函数、对数函数以及逻辑斯蒂曲线放在同一张图对比就能发现，唯一没有增长天花板的就是凹型幂函数。

理解了这几类函数的特点，我们就可能发现人的不同职业类型的发展就符合不同函数模型所表现出来的趋势。

现实生活中指数函数会因为环境因素限制变成逻辑斯蒂曲线，它所对应的职业类型就是爆发型职业：比如风口投资人、网红、流量明星等等，这类职业可能一开始默默无闻，在某个契机下一夜成名，出道即巅峰，但因为其本身缺乏长期价值而逐渐沦为平庸，被更具价值或者热点、流量的事物所取代。

速成型职业对应的是对数函数：典型职业有司机、保安、外卖和灰色地带的捞女、赌徒、骗子。并不是说他们性质就一样，这不是诋毁司机保安等正规职业的劳动者，而是从收益角度来说，他们的职业发展就符合对数函数的趋势。一开始入职就能达到不错的收入，再想增长只能花费更多的时间和精力，且效果不佳，是最容易达到天花板层面的职业。如果我们正处在温饱顾不及或者资不抵债的阶段，此职业也是可以解决燃眉之急的，等到温饱和负债解决好之后再寻求突破，毕竟留在牌桌才有翻身的机会。

专家型职业对应的就是凸型幂函数，它的代表职业都是大部分家长所期望我们从事的职业。比如医生、律师、教师、工程师等等需要专业领域知识型的人才。这类职业的发展总体来说会比较平滑，没有太长的蛰伏期，收益也不错。只要过程中不犯大错，通过时间和经验的复利效应可以让自己变得越来越具有价值。他们的职业虽然也具有天花板，但这个天花板很高，高到大部分职业仰视的程度。所以如果自己也喜欢这类的职业，不妨从学生时代就好好努力学习，听妈妈的话。家长作为过来人，对身边诸多职业分析之后的结论大概率是稳妥和性价比高的。

探索性职业符合凹型幂函数，它所代表的是人类最具有冒险精神和进取精神的一小拨人，改变世界的往往就是这部分人。科学家、学者、天使投资人、程序员等等，他们所从事的都是为了改变世界，为人类的发展注入新的动力。很多人没有办法成为他们，但是我们可以借鉴，让自己的职业成为没有限制天花板的，前面的公众号文章中提到的一个人具有高价值且受众广的职业都可以纳入其中，比如作家、音乐家、画家、专利持有者、企业合伙人等等，只要产品具备高价值、稀缺且面对的客户面广泛，他们的作品和成果也可以带来巨额收益，实现人生的阶段目标的。

第四类：对勾函数和J型曲线

这个函数模型也是高中时期学习的，因为形似对勾状，又被称为耐克函数或者J型函数。它在生活中的运用也非常广泛：

比如运动量和呼吸道感染风险就符合J型曲线，它类似于U型曲线翻折而成，所揭示的也是两个字：适度；

另外在投资学领域也有类似的曲线：完美的投资模型应该是有下限的投入成本和无上限的收益，如果反过来成了无下限的成本，和有上限的收益就会变成愚蠢的投资。案例：南非报业集团 (Naspers)，这家南非公司2001年以3200万美元代价从李泽楷、IDG资本和腾讯团队手中收购了腾讯46%股权，经过多次摊薄和唯一一次减持，目前还持有腾讯31.2%股权，价值高达1286亿美元，创造了18年狂赚4000倍的神话，就属于很完美的J型曲线；再比如抢劫或者诈骗就是典型的收益有限，成本无限的倒J型曲线。

今天对函数的分享就到这里了。因为函数的应用在各个学科中都有分布，此文难免受限于我的知识面而造成不全面和有偏差，还请海涵，权当抛砖引玉吧。另外很多学科领域会使用象限法，对零散事物进行归纳和分类也是很不错的。限于本篇文章是讨论函数模型，对各个学科中的象限分类未收集和整理太多。后面有机会再补充这部分内容，希望今天的内容对各位有所启发。